概述

行列式是线性代数中的一个重要概念，应用广泛。本文将介绍行列式的计算方法和应用。

行列式的定义

对于一个n阶方阵A，其行列式定义为:

$$ det(A)=\sum_{j_1,j_2,...,j_n=1}^n(-1)^{T_{j_1j_2...j_n}}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n} $$

其中，$T_{j_1j_2...j_n}$是排列$(j_1,j_2,...,j_n)$的逆序数。

行列式的计算方法

对于2阶和3阶的方阵，可以直接套用行列式的定义公式计算。而对于高阶的方阵，有更加简便的求解方法:

1. 初等变换求解

通过初等变换将方阵转化为上三角形(或下三角形)矩阵，行列式的值即为对角线元素的积。

2. 展开式求解

以第i行(或第j列)为展开行(或列)，对于每个元素$a_{ij}$，构造$n-1$阶子阵，然后对这些子阵的行列式进行正负变号，相加即为结果。

行列式的应用

行列式在数学中应用非常广泛，包括线性方程组的求解、矩阵的求逆、线性空间的基与维数、特征值与特征向量的计算等等。此外，在物理、工程、经济等领域也有着重要的应用。

例子1：求解线性方程组

对于线性方程组：

$$ \begin{aligned} 3x y z